第1章　函數、圖像和直線　　1
1.1 函數　　1
1.1.1 區間表示法　　3
1.1.2 求定義域　　3
1.1.3 利用圖像求值域　　4
1.1.4 垂線檢驗　　5
1.2 反函數　　6
1.2.1 水平線檢驗　　7
1.2.2 求反函數　　8
1.2.3 限制定義域　　8
1.2.4 反函數的反函數　　9
1.3 函數的復合　　10
1.4 奇函數和偶函數　　12
1.5 線性函數的圖像　　14第1章　函數、圖像和直線　　1 1.1 函數　　1 1.1.1 區間表示法　　3 1.1.2 求定義域　　3 1.1.3 利用圖像求值域　　4 1.1.4 垂線檢驗　　5 1.2 反函數　　6 1.2.1 水平線檢驗　　7 1.2.2 求反函數　　8 1.2.3 限制定義域　　8 1.2.4 反函數的反函數　　9 1.3 函數的復合　　10 1.4 奇函數和偶函數　　12 1.5 線性函數的圖像　　14 1.6 常見函數及其圖像　　16 第2章　三角學回顧　　21 2.1 基本知識　　21 2.2 擴展三角函數定義域　　23 2.2.1 ASTC 方法　　25 2.2.2 [0; 2π] 以外的三角函數　　27 2.3 三角函數的圖像　　29 2.4 三角恒等式　　32 第3章　極限導論　　34 3.1 極限：基本思想　　34 3.2 左極限與右極限　　36 3.3 何時不存在極限　　37 3.4 在∞ 和-∞ 處的極限　　38 3.5 關于漸近線的兩個常見誤解　　41 3.6 三明治定理　　43 3.7 極限的基本類型小結　　45 第4章　求解多項式的極限問題　　47 4.1 x → a 時的有理函數的極限　　47 4.2 x → a 時的平方根的極限　　50 4.3 x → ∞ 時的有理函數的極限　　51 4.4 x → ∞ 時的多項式型函數的極限　　56 4.5 x → -∞ 時的有理函數的極限　　59 4.6 包含絕對值的函數的極限　　61 第5章　連續性和可導性　　63 5.1 連續性　　63 5.1.1 在一點處連續　　63 5.1.2 在一個區間上連續　　64 5.1.3 連續函數的一些例子　　65 5.1.4 介值定理　　67 5.1.5 一個更難的介值定理例子　　69 5.1.6 連續函數的*大值和*小值　　70 5.2 可導性　　71 5.2.1 平均速率　　72 5.2.2 位移和速度　　72 5.2.3 瞬時速度　　73 5.2.4 速度的圖像闡釋　　74 5.2.5 切線　　75 5.2.6 導函數　　77 5.2.7 作為極限比的導數　　78 5.2.8 線性函數的導數　　80 5.2.9 二階導數和更高階導數　　80 5.2.10 何時導數不存在　　81 5.2.11 可導性和連續性　　82 第6章　求解微分問題　　84 6.1 使用定義求導　　84 6.2 用更好的辦法求導　　87 6.2.1 函數的常數倍　　88 6.2.2 函數和與函數差　　88 6.2.3 通過乘積法則求積函數的導數　　88 6.2.4 通過商法則求商函數的導數　　90 6.2.5 通過鏈式求導法則求復合函數的導數　　91 6.2.6 那個難以處理的例子　　94 6.2.7 乘積法則和鏈式求導法則的理由　　96 6.3 求切線方程　　98 6.4 速度和加速度　　99 6.5 導數偽裝的極限　　101 6.6 分段函數的導數　　103 6.7 直接畫出導函數的圖像　　106 第7章　三角函數的極限和導數　　111 7.1 三角函數的極限　　111 7.1.1 小數的情況　　111 7.1.2 問題的求解——小數的情況　　113 7.1.3 大數的情況　　117 7.1.4 “其他的” 情況　　120 7.1.5 一個重要極限的證明　　121 7.2 三角函數的導數　　124 7.2.1 求三角函數導數的例子　　127 7.2.2 簡諧運動　　128 7.2.3 一個有趣的函數　　129 第8章　隱函數求導和相關變化率　　132 8.1 隱函數求導　　132 8.1.1 技巧和例子　　133 8.1.2 隱函數求二階導　　137 8.2 相關變化率　　138 8.2.1 一個簡單的例子　　139 8.2.2 一個稍難的例子　　141 8.2.3 一個更難的例子　　142 8.2.4 一個非常難的例子　　144 第9章　指數函數和對數函數　　148 9.1 基礎知識　　148 9.1.1 指數函數的回顧　　148 9.1.2 對數函數的回顧　　149 9.1.3 對數函數、指數函數及反函數　　150 9.1.4 對數法則　　151 9.2 e 的定義　　153 9.2.1 一個有關復利的問題　　153 9.2.2 問題的答案　　154 9.2.3 更多關于e 和對數函數的內容　　156 9.3 對數函數和指數函數求導　　158 9.4 求解指數函數或對數函數的極限　　161 9.4.1 涉及e 的定義的極限　　161 9.4.2 指數函數在0 附近的行為　　162 9.4.3 對數函數在1 附近的行為　　164 9.4.4 指數函數在∞ 或-∞ 附近的行為　　164 9.4.5 對數函數在∞附近的行為　　167 9.4.6 對數函數在0 附近的行為　　168 9.5 取對數求導法　　169 9.6 指數增長和指數衰變　　173 9.6.1 指數增長　　174 9.6.2 指數衰變　　176 9.7 雙曲函數　　178 第10章　反函數和反三角函數　　181 10.1 導數和反函數　　181 10.1.1 使用導數證明反函數存在　　181 10.1.2 導數和反函數：可能出現的問題　　182 10.1.3 求反函數的導數　　183 10.1.4 一個綜合性例子　　185 10.2 反三角函數　　187 10.2.1 反正弦函數　　187 10.2.2 反余弦函數　　190 10.2.3 反正切函數　　192 10.2.4 反正割函數　　194 10.2.5 反余割函數和反余切函數　　195 10.2.6 計算反三角函數　　196 10.3 反雙曲函數　　199 第11章　導數和圖像　　202 11.1 函數的極值　　202 11.1.1 全局極值和局部極值　　202 11.1.2 極值定理　　203 11.1.3 求全局*大值和*小值　　204 11.2 羅爾定理　　206 11.3 中值定理　　209 11.4 二階導數和圖像　　212 11.5 對導數為零點的分類　　215 11.5.1 使用一次導數　　215 11.5.2 使用二階導數　　217 第12章　繪制函數圖像　　219 12.1 建立符號表格　　219 12.1.1 建立一階導數的符號表格　　221 12.1.2 建立二階導數的符號表格　　222 12.2 繪制函數圖像的全面方法　　224 12.3 例題　　225 12.3.1 一個不使用導數的例子　　225 12.3.2 完整的方法：例一　　227 12.3.3 完整的方法：例二　　229 12.3.4 完整的方法：例三　　231 12.3.5 完整的方法：例四　　234 第13章　*優化和線性化　　239 13.1 *優化　　239 13.1.1 一個簡單的*優化例子　　239 13.1.2 *優化問題：一般方法　　240 13.1.3 一個*優化的例子　　241 13.1.4 另一個*優化的例子　　242 13.1.5 在*優化問題中使用隱函數求導　　246 13.1.6 一個較難的*優化例子　　246 13.2 線性化　　249 13.2.1 線性化問題：一般方法　　251 13.2.2 微分　　252 13.2.3 線性化的總結和例子　　254 13.2.4 近似中的誤差　　256 13.3 牛頓法　　258 第14章　洛必達法則及極限問題總結　　263 14.1 洛必達法則　　263 14.1.1 類型A：0/0 　　263 14.1.2 類型A：±∞/ ±∞ 　　266 14.1.3 類型B1: (∞－∞) 　　267 14.1.4 類型B2: (0 ×±∞) 　　269 14.1.5 類型C:?(1±∞, 0º 或∞º)　　270 14.1.6 洛必達法則類型的總結　　272 14.2 關于極限的總結　　273 第15章　積分　　276 15.1 求和符號　　276 15.1.1 一個有用的求和　　279 15.1.2 伸縮求和法　　280 15.2 位移和面積　　283 15.2.1 三個簡單的例子　　283 15.2.2 一段更常規的旅行　　285 15.2.3 有向面積　　287 15.2.4 連續的速度　　288 15.2.5 兩個特別的估算　　291 第16章　定積分　　293 16.1 基本思想　　293 16.2 定積分的定義　　297 16.3 定積分的性質　　301 16.4 求面積　　305 16.4.1 求通常的面積　　306 16.4.2 求解兩條曲線之間的面積　　308 16.4.3 求曲線與y 軸所圍成的面積　　310 16.5 估算積分　　313 16.6 積分的平均值和中值定理　　316 16.7 不可積的函數　　319 第17章　微積分基本定理　　321 17.1 用其他函數的積分來表示的函數　　321 17.2 微積分的**基本定理　　324 17.3 微積分的第二基本定理　　328 17.4 不定積分　　329 17.5 怎樣解決問題：微積分的**基本定理　　331 17.5.1 變形1：變量是積分下限　　332 17.5.2 變形2：積分上限是一個函數　　332 17.5.3 變形3：積分上下限都為函數　　334 17.5.4 變形4：極限偽裝成導數　　335 17.6 怎樣解決問題：微積分的第二基本定理　　336 17.6.1 計算不定積分　　336 17.6.2 計算定積分　　339 17.6.3 面積和絕對值　　341 17.7 技術要點　　344 17.8 微積分**基本定理的證明　　345 第18章　積分的方法I　　347 18.1 換元法　　347 18.1.1 換元法和定積分　　350 18.1.2 如何換元　　353 18.1.3 換元法的理論解釋　　355 18.2 分部積分法　　356 18.3 部分分式　　361 18.3.1 部分分式的代數運算　　361 18.3.2 對每一部分積分　　365 18.3.3 方法和一個完整的例子　　367 第19章　積分的方法II 　　373 19.1 應用三角恒等式的積分　　373 19.2 關于三角函數的冪的積分　　376 19.2.1 sin 或cos 的冪　　376 19.2.2 tan 的冪　　378 19.2.3 sec 的冪　　379 19.2.4 cot 的冪　　381 19.2.5 csc 的冪　　382 19.2.6 約化公式　　382 19.3 關于三角換元法的積分　　384 19.3.1 類型1：　　384 19.3.2 類型2：　　386 19.3.3 類型3：　　387 19.3.4 配方和三角換元法　　388 19.3.5 關于三角換元法的總結　　389 19.3.6 平方根的方法和三角換元法　　389 19.4 積分技巧總結　　391 第20章　反常積分：基本概念　　393 20.1 收斂和發散　　393 20.1.1 反常積分的一些例子　　395 20.1.2 其他破裂點　　397 20.2 關于無窮區間上的積分　　398 20.3 比較判別法(理論)　　400 20.4 極限比較判別法(理論)　　402 20.4.1 函數互為漸近線　　402 20.4.2 關于判別法的陳述　　404 20.5 p 判別法(理論) 　　405 20.6 絕對收斂判別法　　407 第21章　反常積分：如何解題　　410 21.1 如何開始　　410 21.1.1 拆分積分　　410 21.1.2 如何處理負函數值　　411 21.2 積分判別法總結　　413 21.3 常見函數在∞ 和－∞附近的表現　　414 21.3.1 多項式和多項式型函數在1 和?1 附近的表現　　415 21.3.2 三角函數在∞ 和－∞ 附近的表現　　417 21.3.3 指數在∞和－∞附近的表現　　419 21.3.4 對數在∞ 附近的表現　　422 21.4 常見函數在0 附近的表現　　426 21.4.1 多項式和多項式型函數在0 附近的表現　　426 21.4.2 三角函數在0 附近的表現　　427 21.4.3 指數函數在0 附近的表現　　429 21.4.4 對數函數在0 附近的表現　　430 21.4.5 更一般的函數在0 附近的表現　　431 21.5 如何應對不在0 或∞ 處的瑕點　　432 第22章　數列和級數：基本概念　　434 22.1 數列的收斂和發散　　434 22.1.1 數列和函數的聯系　　435 22.1.2 兩個重要數列　　436 22.2 級數的收斂與發散　　438 22.3 第n 項判別法(理論) 　　442 22.4 無窮級數和反常積分的性質　　443 22.4.1 比較判別法(理論) 　　443 22.4.2 極限比較判別法(理論) 　　444 22.4.3 ρ 判別法(理論)　　444 22.4.4 絕對收斂判別法　　445 22.5 級數的新判別法　　447 22.5.1 比式判別法(理論) 　　447 22.5.2 根式判別法(理論) 　　449 22.5.3 積分判別法(理論) 　　450 22.5.4 交錯級數判別法(理論) 　　453 第23章　求解級數問題　　455 23.1 求幾何級數的值　　455 23.2 應用第n 項判別法　　457 23.3 應用比式判別法　　457 23.4 應用根式判別法　　461 23.5 應用積分判別法　　462 23.6 應用比較判別法、極限比較判別法和p 判別法　　463 23.7 應對含負項的級數　　468 第24章　泰勒多項式、泰勒級數和冪級數導論　　472 24.1 近似值和泰勒多項式　　472 24.1.1 重訪線性化　　472 24.1.2 二次近似　　473 24.1.3 高階近似　　474 24.1.4 泰勒定理　　475 24.2 冪級數和泰勒級數　　478 24.2.1 一般冪級數　　479 24.2.2 泰勒級數和麥克勞林級數　　481 24.2.3 泰勒級數的收斂性　　481 24.3 一個有用的極限　　485 第25章　求解估算問題　　487 25.1 泰勒多項式與泰勒級數總結　　487 25.2 求泰勒多項式與泰勒級數　　488 25.3 用誤差項估算問題　　491 25.3.1 **個例子　　492 25.3.2 第二個例子　　494 25.3.3 第三個例子　　495 25.3.4 第四個例子　　496 25.3.5 第五個例子　　497 25.3.6 誤差項估算的一般方法　　499 25.4 誤差估算的另一種方法　　499 第26章　泰勒級數和冪級數：如何解題　　502 26.1 冪級數的收斂性　　502 26.1.1 收斂半徑　　502 26.1.2 求收斂半徑和收斂區域　　504 26.2 合成新的泰勒級數　　508 26.2.1 代換和泰勒級數　　509 26.2.2 泰勒級數求導　　511 26.2.3 泰勒級數求積分　　512 26.2.4 泰勒級數相加和相減　　514 26.2.5 泰勒級數相乘　　515 26.2.6 泰勒級數相除　　516 26.3 利用冪級數和泰勒級數求導　　517 26.4 利用麥克勞林級數求極限　　519 第27章　參數方程和極坐標　　523 27.1 參數方程　　523 27.2 極坐標　　528 27.2.1 極坐標與笛卡兒坐標互換　　529 27.2.2 極坐標系中畫曲線　　530 27.2.3 求極坐標曲線的切線　　534 27.2.4 求極坐標曲線圍成的面積　　535 第28章　復數　　538 28.1 基礎　　538 28.2 復平面　　541 28.3 復數的高次冪　　544 28.4 解 w 　　545 28.5 解 ＝ w 　　550 28.6 一些三角級數　　552 28.7 歐拉恒等式和冪級數　　554 第29章　體積、弧長和表面積　　556 29.1 旋轉體的體積　　556 29.1.1 圓盤法　　557 29.1.2 殼法　　558 29.1.3 總結和變式　　560 29.1.4 變式1：區域在曲線和y 軸之間　　561 29.1.5 變式2：兩曲線間的區域　　562 29.1.6 變式3：繞平行于坐標軸的軸旋轉　　565 29.2 一般立體體積　　567 29.3 弧長　　571 29.4 旋轉體的表面積　　574 第30章　微分方程　　578 30.1 微分方程導論　　578 30.2 可分離變量的一階微分方程　　579 30.3 一階線性方程　　581 30.4 常系數微分方程　　585 30.4.1 解一階齊次方程　　586 30.4.2 解二階齊次方程　　586 30.4.3 為什么特征二次方程適用　　587 30.4.4 非齊次方程和特解　　588 30.4.5 求特解　　589 30.4.6 求特解的例子　　590 30.4.7 解決yP 和yH 間的沖突　　592 30.4.8 IVP 　　593 30.5 微分方程建模　　595 附錄A 極限及其證明　　598 A.1 極限的正式定義　　598 A.2 由原極限產生新極限　　602 A.3 極限的其他情形　　606 A.4 連續與極限　　611 A.5 再談指數函數和對數函數　　616 A.6 微分與極限　　618 A.7 泰勒近似定理的證明　　627 附錄B 估算積分　　629 B.1 使用條紋估算積分　　629 B.2 梯形法則　　632 B.3 辛普森法則　　634 B.4 近似的誤差　　636 符號列表　　640 索引　　643信息