第1章 矩陣與線性方程組 1 1.1 矩陣的概念與運算 1 1.1.1 矩陣的定義 1 1.1.2 幾種特殊矩陣 3 1.1.3 矩陣的運算 4 1.1.4 矩陣的轉置 11 習題1.1 12 1.2 分塊矩陣 13 1.2.1 分塊矩陣的概念 13 1.2.2 分塊矩陣的線性運算 14 1.2.3 分塊矩陣的乘法 15 1.2.4 分塊矩陣的轉置 17 1.2.5 分塊對角矩陣 18 習題1.2 19 1.3 矩陣的初等變換與線性方程組 19 1.3.1 矩陣的初等變換 19 1.3.2 初等矩陣 23 1.3.3 求解線性方程組 26 習題1.3 30 1.4 逆矩陣 31 1.4.1 逆矩陣的定義與性質 31 1.4.2 逆矩陣的求法 33 1.4.3 矩陣方程 35 習題1.4 38 1.5 應用案例 39 拓展閱讀 43 自測題一 44 第2章 行列式 48 2.1 行列式的定義 48 2.1.1 二階與三階行列式 48 2.1.2 排列及其逆序數 51 2.1.3 n階行列式 52 2.1.4 方陣的行列式 54 習題2.1 56 2.2 行列式的性質與計算 57 2.2.1 行列式的性質 57 2.2.2 行列式的計算舉例 62 2.2.3 行列式按行(列)展開 67 習題2.2 75 2.3 行列式的應用 76 2.3.1 逆矩陣的計算公式 76 2.3.2 克拉默(Gramer)法則 80 習題2.3 83 2.4 矩陣的秩 84 2.4.1 矩陣的子式與秩 84 2.4.2 矩陣秩的求法 86 習題2.4 88 2.5 應用案例 88 拓展閱讀 91 自測題二 92 第3章 向量空間與線性方程組解的結構 96 3.1 向量的概念及其運算 96 3.1.1 n維向量的概念 96 3.1.2 向量的線性運算 97 習題3.1 98 3.2 向量組的線性相關性 99 3.2.1 向量組的概念 99 3.2.2 向量組的線性表示 100 3.2.3 向量組的等價 102 3.2.4 向量組的線性相關性的定義 104 3.2.5 向量組線性相關性的判斷方法 105 3.2.6 向量組線性相關性的重要性質 106 習題3.2 108 3.3 向量組的秩 109 3.3.1 向量組的極大無關組 109 3.3.2 向量組的秩 110 3.3.3 向量組的極大無關組的求法 111 習題3.3 113 3.4 向量空間 114 3.4.1 向量空間的概念 114 3.4.2 向量空間的基、 維數與坐標 115 3.4.3 基變換與坐標變換 118 習題3.4 120 3.5 線性方程組解的結構 120 3.5.1 齊次線性方程組解的結構 120 3.5.2 非齊次線性方程組解的結構 126 習題3.5 129 3.6 應用案例 130 拓展閱讀 137 自測題三 138 第4章 相似矩陣與二次型 143 4.1 特征值與特征向量 143 4.1.1 特征值與特征向量的定義 143 4.1.2 關于特征值和特征向量的重要結論 146 習題4.1 149 4.2 相似矩陣與矩陣可對角化的條件 150 4.2.1 相似矩陣及其性質 150 4.2.2 矩陣可對角化的條件 151 習題4.2 154 4.3 向量的內積與正交矩陣 155 4.3.1 向量的內積 155 4.3.2 向量組的正交化方法 156 4.3.3 正交矩陣 160 習題4.3 160 4.4 實對稱矩陣的相似標準形 161 習題4.4 169 4.5 二次型及其標準形 169 4.5.1 二次型的基本概念 170 4.5.2 可逆變換 171 4.5.3 二次型的標準形 172 習題4.5 174 4.6 用配方法及初等變換法化二次型為標準形 175 4.6.1 用配方法化二次型為標準形 175 4.6.2 用初等變換法化二次型為標準形 177 4.6.3 標準二次型化為規范二次型 178 習題4.6 179 4.7 正定二次型和正定矩陣 179 4.7.1 二次型的分類 179 4.7.2 二次型正定性的判別方法 180 習題4.7 182 4.8 應用案例 182 拓展閱讀 188 自測題四 189 第5章 線性代數綜合案例與軟件實踐 193 5.1 線性數學模型 193 5.1.1 投入產出模型 193 5.1.2 人口遷徙模型 194 5.1.3 搜索引擎的網頁排名問題 194 5.2 線性代數軟件實踐 196 5.2.1 運用數學軟件計算行列式 196 5.2.2 運用數學軟件判斷向量組的線性相關性 196 5.2.3 運用數學軟件求解線性方程組 197 5.2.4 運用數學軟件求矩陣的特征值與特征向量 200 習題及自測題參考答案 202 參考文獻 220