目錄 前言 第1章 函數的極限與連續 1 1.1 函數的概述 1 1.1.1 變量與區間 1 1.1.2 函數的概念 2 1.1.3 函數的特性 5 1.1.4 反函數及其圖形 7 1.1.5 復合函數 8 1.1.6 基本初等函數與初等函數 9 1.1.7 雙曲函數 13 習題 1.1 15 1.2 數列的極限 16 1.2.1 數列的概念 16 1.2.2 數列極限的定義 17 1.2.3 數列極限的性質 19 習題 1.2 20 1.3 函數的極限 21 1.3.1 自變量趨近于無窮大時函數的極限 21 1.3.2 自變量趨向于有限值時函數的極限 23 1.3.3 函數極限的性質 27 習題 1.3 28 1.4 極限的運算 29 1.4.1 無窮小量與無窮大量 29 1.4.2 極限的運算法則 32 1.4.3 數列極限存在準則 36 1.4.4 兩個重要極限 39 習題 1.4 44 1.5 無窮小的比較 45 1.5.1 無窮小的比較的概念與運算 451.5.2 利用等價無窮小量替代求極限 46 習題 1.5 48 1.6 函數的連續 49 1.6.1 函數的連續性 49 1.6.2 函數的間斷點及其分類 51 1.6.3 連續函數的運算 52 1.6.4 初等函數的連續性 53 習題 1.6 55 1.7 閉區間上連續函數的性質 55 1.7.1 *大值*小值定理 55 1.7.2 零點定理與介值定理 (中間值定理) 56 習題 1.7 58 總習題一 59 第2章 一元函數微分學 61 2.1 導數與微分的概念 61 2.1.1 導數的概念 61 2.1.2 函數的微分 68 習題 2.1 72 2.2 導數與微分的運算性質 73 2.2.1 函數線性組合、積、商的求導法則與微分法則 74 2.2.2 復合函數的導數與微分形式不變性 77 2.2.3 反函數的求導法則 80 2.2.4 導數與微分的公式和基本法則 82 習題 2.2 83 2.3 高階導數 84 習題 2.3 89 2.4 隱函數的導數和由參數方程確定的函數的導數 89 2.4.1 隱函數的導數 89 2.4.2 由參數方程確定的函數的導數 93 2.4.3 相關變化率問題 95 習題 2.4 96 2.5 微分中值定理與泰勒公式 97 2.5.1 費馬定理 97 2.5.2 羅爾定理 98 2.5.3 拉格朗日中值定理 1002.5.4 柯西中值定理 105 2.5.5 泰勒公式 106 2.5.6 麥克勞林公式 110 習題 2.5 114 2.6 洛必達法則與極限的計算方法 115 2.6.1 洛必達法則 115 2.6.2 其他類型的不定式求極限 118 習題 2.6 120 2.7 函數及其圖象性態的研究 121 2.7.1 函數單調性的判別方法 121 2.7.2 函數的極值與*大、*小值及其求法 124 2.7.3 函數圖象凹凸與拐點的判別方法 127 2.7.4 函數曲線的漸近線 131 2.7.5 函數圖形的描繪 133 2.7.6 平面曲線的曲率 134 習題 2.7 138 2.8 導數在經濟學的若干應用 139 2.8.1 邊際分析 139 2.8.2 彈性分析 140 習題 2.8 141 總習題二 142 第3章 一元函數積分學 144 3.1 定積分的概念與性質 144 3.1.1 定積分問題舉例 144 3.1.2 定積分的概念 147 3.1.3 定積分的性質 149 習題 3.1 152 3.2 原函數與微積分學基本公式 153 3.2.1 原函數與不定積分的概念 153 3.2.2 變限的定積分 156 3.2.3 微積分學基本公式 158 習題 3.2 159 3.3 基本積分表和積分的簡單計算 160 3.3.1 不定積分的基本積分表 160 3.3.2 不定積分的計算舉例 1613.3.3 定積分的計算舉例 163 習題 3.3 165 3.4 換元積分法 166 3.4.1 不定積分的**類換元積分法 166 3.4.2 不定積分的第二類換元積分法 171 3.4.3 定積分的換元積分法 176 習題 3.4 181 3.5 分部積分法 183 3.5.1 不定積分的分部積分法 183 3.5.2 定積分的分部積分法 189 習題 3.5 192 3.6 有理函數和三角函數有理式的不定積分 193 3.6.1 有理函數的不定積分 193 3.6.2 三角函數有理式的不定積分 198 習題 3.6 200 3.7 定積分的應用 200 3.7.1 建立積分表達式的微分法 201 3.7.2 定積分的幾何應用舉例 202 3.7.3 定積分的物理應用舉例 213 習題 3.7 218 3.8 反常積分 219 3.8.1 無窮區間上的反常積分 219 3.8.2 無界函數的反常積分 222 *3.8.3 Γ 函數 225 習題 3.8 226 總習題三 226 第4章 微分方程 230 4.1 微分方程的基本概念 230 4.1.1 引例 230 4.1.2 微分方程的一些基本概念 232 習題 4.1 234 4.2 可分離變量的微分方程 234 4.2.1 可分離變量的微分方程 234 4.2.2 可化為可分離變量型的微分方程 241 習題 4.2 2474.3 一階微分方程 248 4.3.1 一階線性微分方程 248 4.3.2 伯努利方程 252 *4.3.3 換元法解方程 254 習題 4.3 255 4.4 可降階的高階微分方程 256 4.4.1 y(n) = f(x) 型的微分方程 256 4.4.2 y′′ = f(x， y′) 型的方程 257 4.4.3 y′′ = f(y， y′) 型的方程 258 4.4.4 可降階高階微分方程的應用舉例 259 習題 4.4 264 4.5 線性微分方程解的結構 265 習題 4.5 268 4.6 二階常系數線性微分方程 269 4.6.1 二階常系數齊次線性微分方程 269 4.6.2 二階常系數非齊次線性微分方程 274 4.6.3 二階常系數線性微分方程的應用舉例 280 習題 4.6 286 *4.7 高階變系數線性微分方程解法舉例 287 4.7.1 解二階變系數線性微分方程的常數變易法 287 4.7.2 解歐拉方程的指數代換法 290 習題 4.7 292 總習題四 292 第5章 向量代數與空間解析幾何 295 5.1 向量及其線性運算 295 5.1.1 空間直角坐標系 295 5.1.2 向量與向量表示 297 5.1.3 向量的加法與數乘運算 298 習題 5.1 301 5.2 向量的乘法運算 302 5.2.1 向量的內積 (點積、數量積) 302 5.2.2 向量的向量積 (外積、叉積) 304 5.2.3 向量的混合積 307 習題 5.2 308 5.3 平面 3095.3.1 平面的方程 310 5.3.2 兩平面的夾角和點到平面的距離 312 習題 5.3 314 5.4 直線 314 5.4.1 直線的方程 314 5.4.2 兩直線的夾角、直線與平面的夾角 316 5.4.3 過直線的平面束 318 習題 5.4 321 5.5 曲面與曲線 323 5.5.1 柱面與旋轉曲面 323 5.5.2 空間曲線的方程 326 5.5.3 空間曲線在坐標面上的投影 328 習題 5.5 330 5.6 二次曲面 331 5.6.1 橢球面 332 5.6.2 拋物面 333 5.6.3 雙曲面 336 5.6.4 橢圓錐面 337 習題 5.6 338 總習題五 338 部分習題參考答案或提示 340 參考文獻 359 附錄 360 A.1 一些常用的公式 360 A.2 幾種常用的曲線 361