引子
**章 科學的根源
　1.1　探尋世界的成因
　1.2　數字真理
　1.3　柏拉圖的數學世界“真實”嗎？
　1.4　三個世界與三重奧秘
　1.5　善、真、美
第二章 古代定理和現代問題
　2.1　畢達哥拉斯定理
　2.2　歐幾里得公設
　2.3　畢達哥拉斯定理的相似面積證明
　2.4　雙曲幾何：共形圖像
　2.5　雙曲幾何的其他表示
　2.6　雙曲幾何的歷史淵源
　2.7　與物理空間的關系
第三章 物理世界里數的種類
　3.1　畢達哥拉斯災難？
　3.2　實數系
　3.3　物理世界里的實數
　3.4　自然數需要物理世界嗎？
　3.5　物理世界里的離散數
第四章 奇幻的復數
　4.1　魔數“i”
　4.2　用復數解方程
　4.3　冪級數的收斂
　4.4　韋塞爾復平面
　4.5　如何構造曼德布羅特集
第五章 對數、冪和根的幾何學
　5.1　復代數幾何
　5.2　復對數概念
　5.3　多值性，自然對數
　5.4　復數冪
　5.5　與現代粒子物理學的某些關聯
第六章 實數微積分
　6.1　如何構造實函數？
　6.2　函數的斜率
　6.3　高階導數；C光滑函數
　6.4　“歐拉的”函數概念
　6.5　微分法則
　6.6　積分
第七章 復數微積分
　7.1　復光滑，全純函數
　7.2　周線積分
　7.3　復光滑冪級數
　7.4　解析延拓
第八章 黎曼曲面和復映射
　8.1　黎曼曲面概念
　8.2　共形映射
　8.3　黎曼球面
　8.4　黎曼映射定理
第九章 傅里葉分解和超函數
　9.1　傅里葉級數
　9.2　圓上的函數
　9.3　黎曼球面上的頻率部分
　9.4　傅里葉變換
　9.5　傅里葉變換的頻率剖分
　9.6　哪種函數是適當的？
　9.7　超函數
第十章 曲面
　10.1　復維和實維
　10.2　光滑，偏導數
　10.3　矢量場與1形式
　10.4　分量，標題積
　10.5　柯西-黎曼方程
第十一章 超復數
　11.1　四元數代數
　11.2　四元數的物理角色
　11.3　四元數幾何
　11.4　轉動如何疊加
　11.5　克利福德工數
　11.6　格拉斯曼代數
第十二章 n維流形
　12.1　為什么要研究高維流形？
　12.2　流形與坐標拼塊
　12.3　標題、矢量和余矢量
　12.4　格拉斯曼積
　12.5　形式的積分
　12.6　外導數
　12.7　體積元，求和規則
　12.8　張量：抽象指標記法和圖示記法
　12.9　復流形
第十三章 對稱群
　13.1　變換群
　13.2　子群和單群
　13.3　線性變換和矩陣
　13.4　行列式和跡
　13.5　本征值與本征矢量
　13.6　表示理論與李代數
　13.7　張量表示空間：可約性
　13.8　正交群
　13.9　酉群
　13.10　辛群
第十四章 流形上的微積分
　14.1　流形上的微分
　14.2　平行移動　
　14.3　協變導數
　14.4　曲率和撓率
　14.5　測地線、平行四邊形和曲率
　14.6　李導數
　14.7　度規能為你做什么
　14.8　辛流形　
15 纖維叢與規范聯絡
15.1 纖維叢的物理背景
15.2 叢的數學概念
15.3 叢的截面
15.4 克利福德叢
15.5 復矢量叢、（余）切叢
15.6 射影空間
15.7 叢聯絡的非平凡性
15.8 叢曲率
16 無限的階梯
16.1 有限域
16.2 物理上需要的是有限還是無限幾何？
16.3 無限的不同大小
16.4 康托爾對角線法
16.5 數學基礎方面的難題
16.6 圖靈機與哥德爾定理
16.7 物理學中無限的大小
17 時空
17.1 亞里士多德物理學里的時空
17.2 伽利略相對性原理下的時空
17.3 時空的牛頓動力學
17.4 等效原理
17.5 嘉當的“牛頓時空”
17.6 確定不變的有限光速
17.7 光錐
17.8 放棄絕對時間
17.9 愛因斯坦廣義相對論的時空
18 閔可夫斯基幾何
18.1 歐幾里得型與閔可夫斯基型四維空間
18.2 閔可夫斯基空間的對稱群
18.3 洛倫茲正交性；“時鐘悖論”
18.4 閔可夫斯基空間的雙曲幾何
18.5 作為黎曼球面的天球
18.6 牛頓能量和（角）動量
18.7 相對論性能量和（角）動量
19 麥克斯韋和愛因斯坦經典場
19.1 背離牛頓動力學的演化
19.2 麥克斯韋電磁理論
19.3 麥克斯韋理論中的守恒律與通量定律
19.4 作為規范曲率的麥克斯韋場
19.5 能量動量張量
19.6 愛因斯坦場方程
19.7 進一步的問題：宇宙常數；外爾張量
19.8 引力場能量
20 拉格朗日量與哈密頓量
20.1 神奇的拉格朗日形式體系
20.2 更為對稱的哈密頓圖像
20.3 小振動
20.4 辛幾何的哈密頓動力學
20.5 場的拉格朗日處理
20.6 如何從拉格朗日量導出現代理論
21 量子粒子
21.1 非對易變量
21.2 量子哈密頓量
21.3 薛定諤方程
21.4 量子理論的實驗背景
21.5 理解波粒二象性
21.6 什么是量子“實在”？
21.7 波函數的整體性質
21.8 奇怪的“量子跳變”
21.9 波函數的概率分布
21.10 位置態
21.11 動量空間描述
22 量子代數、幾何和自旋
22.1 量子步驟U和R
22.2 U的線性性以及它給R帶來的問題
22.3 幺正結構、希爾伯特空間和狄拉克算符
22.4 幺正演化：薛定諤繪景與海森伯繪景
22.5 量子“可觀察量”
22.6 YES / NO測量；投影算符
22.7 類光測量；螺旋性
22.8 自旋與旋量
22.9 二態系統的黎曼球面
22.10 高自旋：馬約拉納繪景
22.11 球諧函數
22.12 相對論性量子角動量
22.13 一般的孤立量子客體
23 糾纏的量子世界
23.1 多粒子系統的量子力學
23.2 巨大的多粒子系統態空間
23.3 量子糾纏：貝爾不等式
23.4 玻姆型EPR實驗
23.5 哈迪的EPR事例：幾乎與概率無關
23.6 量子糾纏的兩個謎團
23.7 玻色子與費米子
23.8玻色子與費米子的量子態
23.9 量子隱形傳態
23.10 量子糾纏
24 狄拉克電子與反粒子
24.1 量子理論和相對論之間的張力
24.2 為什么反粒子意味著量子場？
24.3 量子力學里的能量正定性
24.4 相對論能量公式的困難
24.5 ??/??t的非不變性
24.6 波算符的克利福德－狄拉克平方根
24.7 狄拉克方程
24.8 正電子的狄拉克途徑

25 粒子物理學的標準模型
25.1 現代粒子物理學的起源
25.2 電子的zigzag圖像
25.3電弱相互作用；反射不對稱性
25.4 正反共軛、宇稱和時間反演
25.5 電弱對稱群
25.6 強相互作用粒子
25.7 “色夸克”
25.8 超越標準模型？
26 量子場論
26.1 QFT在現代物理中的基礎地位
26.2 產生算符與湮沒算符
26.3 無窮維代數
26.4 QFT中的反粒子
26.5 備擇真空
26.6 相互作用：拉格朗日量與路徑積分
26.7 發散的路徑積分：費恩曼響應
26.8 構建費恩曼圖；S矩陣
26.9 重正化
26.10 拉格朗日量的費恩曼圖
26.11 費恩曼圖與真空選擇
27 大爆炸及其熱力學傳奇
27.1 動力學演化的時間對稱性
27.2 亞微觀成分
27.3 熵
27.4 熵概念的魯棒性
27.5 第二定律的導出
27.6 整個宇宙可看作一個“孤立系統”嗎？
27.7 大爆炸的角色
27.8 黑洞
27.9 事件視界與時空奇點
27.10 黑洞熵
27.11 宇宙學
27.12 共形圖
27.13 異乎尋常的特殊大爆炸
28 早期宇宙的推測性理論
28.1 早期宇宙的自發對稱破缺
28.2 宇宙的拓撲缺陷
28.3早期宇宙的對稱破缺問題
28.4 暴脹宇宙學
28.5 暴脹的動機有效嗎？
28.6 人擇原理
28.7 大爆炸的特殊性質：人擇是關鍵？
28.8 外爾曲率假說
28.9 哈特爾－霍金的“無界”假說
28.10 宇宙學參數：觀察的地位？
29 測量疑難
29.1量子理論的傳統本體論
29.2量子理論的非傳統本體論
29.3密度矩陣
29.4自旋1/2的密度矩陣：布洛赫球
29.5 EPR狀態的密度矩陣
29.6 環境退相關的FAPP哲學
29.7 “哥本哈根”本體論的薛定諤貓
29.8 其他傳統本體論能夠解決“貓”佯謬嗎？
29.9 哪一種非傳統本體論有助于解決問題？
30 量子態收縮中的引力角色
30.1 當今的量子理論在此適用嗎？
30.2 來自宇宙學時間不對稱的線索
30.3 量子態收縮的時間不對稱性
30.4 霍金的黑洞溫度
30.5 源自復雜周期性的黑洞溫度
30.6 基靈矢量，能量流——時間旅行！
30.7 來自負能量途徑的能量流
30.8 霍金爆炸
30.9 更激進的觀點
30.10 薛定諤團塊
30.11 與愛因斯坦原理的基本沖突
30.12 優先的薛定諤－牛頓態？
30.13 FELLX及其相關理論
30.14 早期宇宙漲落的起源
31 超對稱、超維和弦
31.1 令人費解的參數
31.2 超對稱
31.3 超對稱代數與幾何
31.4 高維時空
31.5 原初的強子弦論
31.6 極品弦論
31.7 額外時空維的弦動機
31.8 作為量子引力的弦理論？
31.9 弦動力學
31.10 為什么我們看不見額外的空間維？
31.11 我們應當接受關于量子穩定性論證嗎？
31.12 額外維的經典不穩定性
31.13 弦QFT是有限的嗎？
31.14 神奇的卡拉比－丘空間，M－理論
31.15 弦與黑洞熵
31.16 “全息原理”
31.17 D膜觀點
31.18 弦論的物理學地位？
32 更為狹窄的愛因斯坦途徑；圈變量
32.1 正則量子引力
32.2 阿什臺卡變量的手征輸入
32.3 阿什臺卡變量的形式
32.4 圈變量
32.5 結與鏈的數學
32.6 自旋網絡
32.7 圈量子引力的地位
33 更徹底的觀點；扭量理論
33.1 幾何上具有離散元素的理論
33.2 作為光線的扭量
33.3 共形群；緊化閔可夫斯基空間
33.4 作為高維旋量的扭量
33.5 基本扭量幾何及其坐標
33.6 作為無質量自旋粒子的扭量的幾何
33.7 扭量量子論
33.8 無質量場的扭量描述
33.9 扭量層上同調
33.10 扭量與正/負頻率剖分
33.11 非線性引力子
33.12 扭量與廣義相對論
33.13 面向粒子物理的扭量理論
33.14 扭量理論的未來
34 實在之路通向何處？
34.1 20世紀物理學的偉大理論——與超越？
34.2 數學推動的基礎物理學
34.3 時髦物理理論的作用
34.4 錯誤理論能被實驗駁倒嗎？
34.5 下一次物理學革命會來自何處？
34.6 實在是什么？
34.7 心智在物理理論中的作用
34.8 通向實在的漫長的數學之路
34.9 美與奇跡
34.10 艱深的問題回答了，更深的問題又形成了