目錄
第二版前言
**版前言
第1章 基本定理 1
1.1 解的存在唯一性定理 1
1.2 解的延拓 3
1.3 解對初值和參數的連續依賴性和可微性 9
1.4 比較定理 13
習題1 21
第2章 動力系統的基本知識 23
2.1 自治系統與非自治系統 23
2.1.1 相空間與軌線 23
2.1.2 自治系統的基本性質 25
2.1.3 動力系統的概念 28
2.2 軌線的極限集合 29
2.2.1 常點與奇點 29
2.2.2 自治系統解的延拓性 30
2.2.3 w極限集與a極限集及其基本性質 32
2.3 平面上的極限集 35
2.3.1 平面有界極限集的特性與結構 35
2.3.2 Poincare-Bendixson環域定理 37
2.4 極限集的應用實例 39
2.4.1 Volterra捕食-被捕食模型 39
2.4.2 三極管電路的van der Pol方程 42
習題2 44
第3章 穩定性理論 46
3.1 穩定性的定義和例子 46
3.1.1 穩定性的幾個定義 46
3.1.2 穩定性的關系及例子 49
3.2 自治系統零解的穩定性 54
3.2.1 V函數 54
3.2.2 Liapunov穩定性定理 55
3.2.3 不穩定性定理 57
3.3 非自治系統零解的穩定性 59
3.3.1 V函數和k類函數 59
3.3.2 零解的穩定性 62
3.3.3 零解的不穩定性 65
3.4 全局穩定性 67
3.4.1 全局穩定的概念和判定定理 67
3.4.2 應用舉例 71
3.4.3 吸引域的估計 73
3.5 線性系統及其擾動系統的穩定性 73
3.5.1 常系數線性系統的穩定性 74
3.5.2 線性系統的擾動 81
3.5.3 非自治線性系統的穩定性 84
3.6 臨界情形下奇點的穩定性分析 87
3.6.1 中心流形 88
3.6.2 中心流形定理 92
3.6.3 臨界情況下奇點的穩定性分析舉例 95
3.7 Liapunov函數的構造 102
3.7.1 Liapunov函數的存在性 102
3.7.2 常系數線性系統的巴爾巴欣公式 104
3.7.3 二次型方法的推廣 108
3.7.4 線性類比法 110
3.7.5 能量函數法 112
3.7.6 分離變量法 113
3.7.7 變梯度法 114
3.8 判定穩定性時的比較方法 116
3.8.1 與數量方程的比較 116
3.8.2 與向量方程的比較 120
習題3 122
第4章 平面系統的奇點 125
4.1 初等奇點 125
4.1.1 線性系統的孤立奇點 125
4.1.2 非線性系統的雙曲奇點 135
4.2 中心與焦點的判定 140
4.2.1 非雙曲初等奇點的類型與中心的判定定理 140
4.2.2 細焦點及其判定法 147
4.3 高階奇點 157
4.3.1 沿不變直線方向的拉伸變換 158
4.3.2 通過極坐標變換的“吹脹”技巧 160
4.3.3 沿x與y方向的“吹脹” 165
4.3.4 非齊次“吹脹” 169
4.4 旋轉數與指數 171
4.4.1 旋轉數及其基本性質 171
4.4.2 奇點的指數 173
習題4 177
第5章 極限環 179
5.1 基本概念與極限環的不存在性 179
5.1.1 基本概念 179
5.1.2 極限環不存在性的判定法 181
5.2 極限環的存在性 187
5.3 后繼函數與極限環的穩定性 198
5.3.1 Poineare映射與后繼函數 198
5.3.2 曲線坐標與極限環的穩定性 200
5.4 極限環的唯一性 204
習題5 211
第6章 無窮遠奇點與全局結構 212
6.1 無窮遠奇點 212
6.1.1 Poincare球面與Poincare變換 212
6.1.2 無窮遠奇點與Poincare圓盤 214
6.2 軌線的全局結構分析舉例 224
習題6 228
第7章 分支理論 229
7.1 一個例子 229
7.2 結構穩定與分支現象 230
7.2.1 結構穩定的定義 230
7.2.2 結構穩定的等價描述 232
7.2.3 結構不穩定：分支現象 233
7.3 奇點分支 234
7.3.1 一維系統的奇點分支 234
7.3.2 二維或更高維系統的奇點分支 238
7.3.3 給定擾動參數的奇點分支問題 242
7.4 Hopf分支 243
7.4.1 平面系統的Hopf分支 244
7.4.2 利用特征根的共振性求正規形 255
7.4.3 三維或更高維系統的Hopf分支 257
7.5 閉軌分支 259
7.5.1 平面系統的閉軌分支 259
7.5.2 三維或更高維系統的閉軌分支 263
7.6 奇異閉軌分支 268
7.6.1 平面系統的同宿分支 269
7.6.2 旋轉向量場 270
7.6.3 平面系統同宿分支的例子 272
7.6.4 關于異宿分支和高維系統奇異閉軌分支的介紹 275
7.7 Poincare分支——從平面閉軌族分支極限環 276
7.7.1 平面Hamilton系統的擾動問題 276
7.7.2 高階Melnikov函數 284
7.7.3 平面可積系統的擾動問題 286
7.7.4 弱化的希爾伯特第16問題 287
7.8 從高維系統的閉軌族產生周期解的分支問題 289
7.9 Bogdanov-Takens分支 296
7.9.1 利用變換求正規形 296
7.9.2 余維2的B-T分支：普適開折的推導 298
7.9.3 余維2的B-T分支：分支圖與軌線拓撲分類 302
習題7 303
第8章 常微分方程的應用舉例 308
8.1 一個三種群相互作用的Volterra模型研究 308
8.1.1 正平衡解的穩定性 308
8.1.2 模型平面解的存在性及其漸近性態 311
8.1.3 一個Volterra模型的Hopf分支 314
8.2 傳染病模型 317
8.2.1 假設和記號 317
8.2.2 SIS模型 317
8.2.3 SIR模型 319
8.2.4 SEIR模型 321
8.3 一個總人口變化的SEIR模型的全局性態分析 323
8.3.1 模型及其平衡解 323
8.3.2 無病平衡點的穩定性 325
8.3.3 地方病平衡點的穩定性 327
8.3.4 地方病平衡點的全局穩定性 329
8.4 三分子反應模型 332
8.4.1 模型及其奇點分析 332
8.4.2 極限環的存在唯一性 334
8.5 一個具有非線性傳染率的SI模型的穩定性與分支 336
8.5.1 具有非線性傳染率的SI模型 336
8.5.2 平衡點的穩定性 338
8.5.3 模型（8.5.3)的Bogdanov-Takens分支 341
8.6 一個具有飽和恢復率的季節性傳染病模型 348
8.6.1 模型及其基本再生數 348
8.6.2 兩個正周期解的存在性 349
8.6.3 周期解的穩定性 354
習題8 359
參考文獻 362