目錄
《大學數學科學叢書》序
前言
第1章 關系與相關性 1
1.1 集合算術 1
1.1.1 集合比較與運算 1
1.1.2 集族與多元組 4
1.1.3 截口與映射 7
練習 11
1.2 二元關系 12
1.2.1 復合與逆 12
1.2.2 等價關系 16
1.2.3 順序關系 19
練習 22
1.3 基數算術 23
1.3.1 對等集合 23
1.3.2 基數與其比較 26
1.3.3 基數運算 30
練習 33
1.4 完備序集 34
1.4.1 上確界與下確界 34
1.4.2 上極限與下極限 37
1.4.3 級數與乘積 41
練習 44
第2章 測度與可測性 46
2.1 可列加性 46
2.1.1 測度起源 46
2.1.2 集環 49
2.1.3 集函數 51
練習 54
2.2 集族擴張 56
2.2.1 單調環 56
2.2.2 集族歸納法 60
練習 62
2.3 測度擴張 63
2.3.1 外測度法 63
2.3.2 基本性質 66
2.3.3 唯一擴張 69
練習 70
2.4 常用測度 71
2.4.1 正則性 71
2.4.2 映射與測度計算 74
2.4.3 可乘性 78
練習 81
2.5 可測映射 82
2.5.1 可測性 82
2.5.2 帶號函數 85
2.5.3 復值函數 89
練習 92
2.6 函數序列 93
2.6.1 與測度無關的收斂性 94
2.6.2 與測度有關的收斂性 97
2.6.3 閱讀材料 101
2.6.4 附錄(可測性的延伸) 104
練習 107
第3章 積分與可積性 109
3.1 微量累積 109
3.1.1 積分簡史 109
3.1.2 積分運算 113
3.1.3 常用積分 119
練習 121
3.2 極限定理 122
3.2.1 單調收斂性 122
3.2.2 控制收斂性 125
3.2.3 變量代換 127
練習 131
3.3 累次積分 133
3.3.1 乘積測度 133
3.3.2 重積分的計算 136
3.3.3 閱讀材料 140
練習 143
3.4 平均收斂 144
3.4.1 幾個不等式 144
3.4.2 平均收斂與其特征 147
3.4.3 閱讀材料 150
練習 154
3.5 廣義測度 155
3.5.1 帶號情形 155
3.5.2 加權測度 158
3.5.3 測度比較 161
3.5.4 附錄(積分的其他定義方式) 164
練習 168
第4章 導數與可導性 170
4.1 囿變函數 170
4.1.1 全變差 170
4.1.2 囿變函數的性質 173
4.1.3 閱讀材料 177
練習 180
4.2 不定積分 181
4.2.1 導出數 181
4.2.2 絕對連續性 184
4.2.3 閱讀材料 187
練習 190
4.3 非勻測度 191
4.3.1 從單調函數到容度 191
4.3.2 湊微分與分部積分 195
4.3.3 閱讀材料 198
練習 201
4.4 卷積運算 202
4.4.1 基本性質 202
4.4.2 近似幺元 206
4.4.3 光滑逼近 209
練習 212
4.5 傅氏變換 213
4.5.1 基本性質 213
4.5.2 反演和L2-等距性 217
4.5.3 速降函數 220
練習 223
附錄1 Perron積分 225
上密度和下密度 225
上積函數與下積函數 226
附錄2 從零開始 232
自然數與歸納法 232
整數與帶余除法 235
廣義實數 239
極限與初等函數 243
復數與四元數 248
序數與超限歸納法 250
序數運算與基數 253
參考文獻 257
符號列表 258
術語索引 266
中外人名 277
《大學數學科學叢書》已出版書目 281