目錄
前言
第1章 實數集與函數 1
1.1 實數 1
1.1.1 基本問題 1
1.1.2 要點講解與注釋 1
1.1.3 補充材料：戴德金分劃簡介 5
1.2 數集和確界原理 6
1.2.1 基本問題 6
1.2.2 要點講解與注釋 7
1.3 函數概念 9
1.3.1 基本問題 9
1.3.2 要點講解與注釋 10
1.4 具有某些特性的函數 14
1.4.1 基本問題 14
1.4.2 要點講解與注釋 14
1.5 第1章測試題與提示 21
1.5.1 測試題 21
1.5.2 提示 22
第2章 數列極限 23
2.1 數列極限概念 23
2.1.1 基本問題 23
2.1.2 要點講解與注釋 23
2.2 收斂數列的性質 30
2.2.1 基本問題 30
2.2.2 要點講解與注釋 30
2.3 數列極限存在的條件 35
2.3.1 基本問題 35
2.3.2 要點講解與注釋 36
2.4 第2章測試題與提示 43
2.4.1 測試題 43
2.4.2 提示 44
第3章 函數極限 46
3.1 函數極限的概念 46
3.1.1 基本問題 46
3.1.2 要點講解與注釋 47
3.2 函數極限的性質 52
3.2.1 基本問題 52
3.2.2 要點講解與注釋 52
3.3 函數極限存在條件 55
3.3.1 基本問題 55
3.3.2 要點講解與注釋 55
3.4 兩個重要的極限 58
3.4.1 基本問題 58
3.4.2 要點講解與注釋 59
3.5 無窮小量與無窮大量 61
3.5.1 基本問題 61
3.5.2 要點講解與注釋 61
3.6 第3章測試題與提示 65
3.6.1 測試題 65
3.6.2 提示 65
第4章 函數的連續性 68
4.1 連續性概念 68
4.1.1 基本問題 68
4.1.2 要點講解與注釋 68
4.2 連續函數的性質 71
4.2.1 基本問題 71
4.2.2 要點講解與注釋 71
4.3 初等函數的連續性 76
4.3.1 基本問題 76
4.3.2 要點講解與注釋 76
4.4 第4章測試題與提示 81
4.4.1 測試題 81
4.4.2 提示 82
第5章 導數和微分 85
5.1 導數的概念 85
5.1.1 基本問題 85
5.1.2 要點講解與注釋 85
5.2 求導法則 88
5.2.1 基本問題 88
5.2.2 要點講解與注釋 88
5.3 參變量函數的導數 90
5.3.1 基本問題 90
5.3.2 要點講解與注釋 90
5.4 高階導數 92
5.4.1 基本問題 92
5.4.2 要點講解與注釋 93
5.5 微分 94
5.5.1 基本問題 94
5.5.2 要點講解與注釋 95
5.6 第5章測試題與提示 96
5.6.1 測試題 96
5.6.2 提示 97
第6章 微分中值定理及其應用 100
6.1 拉格朗日中值定理與函數單調性 100
6.1.1 基本問題 100
6.1.2 要點講解與注釋 100
6.2 柯西中值定理與不定式極限 104
6.2.1 基本問題 104
6.2.2 要點講解與注釋 104
6.3 泰勒公式 107
6.3.1 基本問題 107
6.3.2 要點講解與注釋 107
6.4 函數的極值與*值 111
6.4.1 基本問題 111
6.4.2 要點講解與注釋 111
6.5 函數的凸性與拐點 114
6.5.1 基本問題 114
6.5.2 要點講解與注釋 115
6.6 函數的圖像 119
6.6.1 基本問題 119
6.6.2 要點講解與注釋 119
6.7 第6章測試題與提示 120
6.7.1 測試題 120
6.7.2 提示 121
第7章 實數的完備性 125
7.1 關于實數集完備性的基本定理 125
7.1.1 基本問題 125
7.1.2 要點講解與注釋 125
7.2 上極限和下極限 126
7.2.1 基本問題 126
7.2.2 要點講解與注釋 126
第8章 教學與歷史回顧 129
8.1 再識“一元微分學” 129
8.2 微積分發展簡介 130
8.2.1 引言 130
8.2.2 牛頓的流數術 131
8.2.3 萊布尼茨的微積分 132
8.2.4 發明權之爭 133
8.2.5 柯西與分析學基礎 134
8.2.6 魏爾斯特拉斯的嚴格化 135
8.2.7 微積分學若干概念形成簡史 136
8.2.8 微積分學的內容組成、所揭示的矛盾和向現代數學的拓展 137
參考文獻 140